Rangkuman Matematika

Rangkuman Matematika
BAB 1
Bilangan
Sejarah mencatat bahwa permulaan munculnya bilangan (Matematika) berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai, seperti Bangsa Mesir di Sungai Nil, Bangsa Babilonia Sungai Tigris dan Eufrat, Bangsa Hindu di Sungai Indus dan Gangga, serta Bangsa Cina di Sungai Huang Ho dan Yang Tze.
Bilangan 7 “baca tujuh” tersusun dari angka 7 saja.
Bilangan 12 “baca dua belas” tersusun dari angka 1 dan 2.
Bilangan 123 “baca seratus dua puluh tiga” tersusun dari angka 1, 2, dan 3.
Bilangan 6123987 “baca enam juta seratus dua puluh tiga ribu sembilan ratus.
Contoh Soal
Mia mempunya 3 boneka di rumahnya. Ketika ulang tahun, Mia mendapatkan
hadiah sebanyak 4 boneka lagi. Berapakah boneka yang dimiliki Mia sekarang?
Jawaban
Diket: Mia mempunyai 3 boneka + 4 boneka
Dita: banyak boneka Mia sekarang
Jawab : 3+4= 7
Jadi boneka Mia sekarang ada 7
Contoh Soal
Nia mempunyai 6 pasang sepatu di rumahnya. Karena sedang senang hati, Nia memberikan 2 pasang sepatunya kepada sepupunya. Berapakah pasang sepatu yang dimiliki Nia sekarang?
Diket= mempunyai 6 sepatu diberikan 2 sepatu
Dita= berapa sepatu nia sekarang
Jawab= 6-2= 4 sepatu
Jadi sepatu nia ada 4
Sifat- sifat operasi penjumlahan dan pengurangan
Sifat 1: Komutatif
Secara umum, Jika a dan b adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku
a + b = b + a
Sifat 2: Asosiatif
Selain sifat komutatif, pada penjumlahan bilangan bulat juga berlaku sifat
asosiatif (pengelompokan).
Secara umum, jika a, b, dan c adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku
a + (b+c) = (a+b) + c

Sifat-sifat bilangan bulat
Genap + genap = genap
Genap + ganjil = ganjil
Ganjil + ganjil = genap
Pada operasi perkalian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.
Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan, c berlaku
1. Komutatif
a × b = b × a
2. Asosaiatif
(a × b) × c = a × ( b × c)
3. Distributif
Perkalian terhadap penjumlahan
a × (b + c) = a × b + a × c
Perkalian terhadap pengurangan
a × (b - c) = a × b - a × c
Bilangan I                  BilanganII                   Hasil
Positif (+)          ×         Positif (+)               = Positif (+)
Positif (+)          ×         Negatif (-)              = Negatif (-)
Negatif (-)         ×         Positif (+)               = Negatif (-)
Negatif (-)         ×         Negatif (-)               = Positif (+)

Urutan Operasi
1. Hitung bentuk yang di dalam kurung
Contoh
(6 + 2) × 4 = 8 × 4 = 32
2. Hitung bentuk eksponen (pangkat)
Contoh
-4 + 32 = -4 + 9 = 5
3. Perkalian dan pembagian secara berurutan dari kiri ke kanan
Contoh 1
2 + 3 × 4 = perkalian lebih dulu
2 + 12 = 14
Contoh 2
48 ÷ 2 × 3 = pembagian dulu (karena di sebelah kiri)
24 × 3 = 72 perkalian
Contoh 3
24 × 2 ÷ 8 = perkalian dulu (karena di sebelah kiri)
48 ÷ 8 = 6 pembagian
4. Penjumlahan dan pengurangan secara berurutan dari kiri ke kanan
Contoh 1
3 - 2 + 5 × 4 = perkalian lebih dulu
3 - 2 + 20 = pengurangan (karena sebelah kiri)
1 + 20 = 21 penjumlahan
Contoh 2
3 + 4 ÷ 2 - 5 × 4 = pembagian dan perkalian lebih dulu
3 + 2 - 20 = penjumlahan (karena sebelah kiri)
5 - 20 = -15 pengurangan

Bilangan pecahan pertama kali ditemukan oleh Bangsa Mesir Kuno. Pecahan
yang ditemukan oleh bangsa Mesir Kuno berbeda dengan bilangan pecahan
yang kita gunakan saat ini. Pecahan Mesir (Egyptian Fraction) adalah
penjumlahan dari beberapa pecahan yang berbeda di mana setiap pecahan
tersebut memiliki pembilang 1 dan penyebut berupa bilangan bulat positif
yang berbeda satu sama lain (yang disebut sebagai pecahan satuan atau
unit fraction). Penjumlahan ini menghasilkan suatu bilangan pecahan a/b
,
di mana 0 < a/b < 1. Penjumlahan pecahan semacam ini berperan penting
dalam matematika Mesir Kuno karena notasi dalam matematika Mesir
Kuno hanya mengenal pecahan berpembilang 1 dengan pengecualian 2/3
Contoh:
5/6 = 1/2 = 1/3

13/15 =  2/3 +  1/5

Informasi:
Pada bilangan pecahan juga berlaku sifat, komutatif, asosiatif, dan distributif

Indeks Massa Tubuh/IMT adalah
pengukuran yang memperkirakan
apakah seseorang dewasa
memiliki tubuh yang ideal dari
perbandingan tinggi dan berat
badannya.
Nilai IMT diberikan oleh rumus
berikut.
IMT= b/t2
b = berat badan (kg)
t = tinggi badan (meter)
Kategori IMT
Sangat kurus <14,9
Kurus 15 - 18,4
Normal 18,5 - 22,9
Kelebihan berat badan 23 - 27,5
Gemuk 27,6 – 40
Sangat gemuk >40

Pembagian bilangan pecahan oleh bilangan bulat
Jika a/b
adalah bilangan pecahan, dengan c adalah bilangan bulat maka
a/b ÷ c =a/bxc
Pembagian bilangan pecahan oleh bilangan pecahan
dengan penyebut sama
Misalnya, jika a/c dan b/c
adalah bilangan pecahan dengan
b ≠ 0, makaa/c÷b/c = a/b
Bilangan berpangkat juga dikenal dengan istilah bilangan eksponen. Saat di
Sekolah Dasar kalian sudah mengenal bilangan berpangkat bulat positif (asli).
Misal 23 dibaca “dua pangkat tiga”, 102 “dibaca sepuluh pangkat dua” dan lain
sebagainya. Salah satu alasan penggunaan bilangan berpangkat adalah untuk
menyederhanakan bilangan desimal yang memuat angka (relatif) banyak.
Misal bilangan 1.000.0000 dapat dinotasikan menjadi bilangan berpangkat
106 . Bilangan desimal 1.000.000 memuat tujuh angka dapat diubah menjadi
bilangan berpangkat 106 yang hanya memuat tiga angka. Mengubah bilangan
desimal yang memuat angka yang banyak menjadi bilangan berpangkat bisa
dilakukan asalkan nilainya tetap. Dalam kegiatan ini, kalian akan diajak untuk
mengenal bilangan berpangkat lebih banyak, memahami cara mengubah notasi
bilangan desimal yang memuat banyak angka menjadi bilangan berpangkat,
serta membandingkan bilangan-bilangan berpangkat.
Faktor Bilangan
Bilangan bulat a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika ada bilangan bulat
n sedemikian sehingga a × n = b.
Contoh:
2 dikatakan faktor dari dari 6 karena ada bilangan 3 sedemikian sehingga 2 × 3 = 6
Setelah memahami tentang faktor, kalian bisa mengubah bilangan-bilangan yang sangat besar menjadi bilangan berpangkat. Untuk menentukan faktorfaktor dari bilangan desimal tersebut, salah satu caranya adalah dengan membagi bilangan tersebut secara berulang.
Cara menjadikan bilangan desimal 648 menjadi bilangan berpangkat.
648 : 2
324 : 2
162 : 2
81 : 3
27 : 3
9 : 3
3 : 3
1
648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 ×3 ×3
= 23 × 34

Kelipatan Persekutuan Terkecil dan Faktor Persekutuan Terbesar
a. Kelipatan Persekutuan
Daftarlah sepuluh kelipatan bilangan berikut secara urut dari yang terkecil
hingga terbesar. Kelipatan yang dimaksud adalah kelipatan bilangan bulat
positif.
Dari Tabel daftar bilangan-bilangan yang sama antara kelipatan 1 dan 2
adalah 2, 4, 6, 8, dan 10
Bilangan 2, 4, 6, 8, dan 10 disebut sebagai kelipatan persekutuan dari 1 dan 2.
Sedangkan 2 disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 1 dan 2.

BAB 2
Himpunan

Konsep Himpunan
Di dalam kehidupan sehari-hari, kata himpunan ini dipadankan dengan kumpulan, kelompok, grup, atau gerombolan. Dalam biologi misalnya, kita mengenal kelompok flora dan kelompok fauna. Di dalamnya, masih ada lagi kelompok vertebrata, kelompok invertebrata, kelompok dikotil, dan kelompok monokotil. Dalam kehidupan sehari-hari, kalian juga mengenal suku Jawa, suku Madura, suku Sasak, suku Dayak, suku Batak, dan lain-lain. Semua itu merupakan kelompok. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gerombolan dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan.

Penyajian Himpunan
Cara1: Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Manakala banyak anggotanya sangat banyak, cara mendaftarkan ini biasanya dimodifkasi, yaitu diberi tanda tiga titik (“…”) dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”.
Cara 2: Dinyatakan dengan menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya.
Cara 3: Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum {x | P(x)} dimana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa diganti oleh variabel yang lain, seperti y, z, dan lain-lain. Misalnya A = {1, 2, 3, 4, 5} bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan A = {x | x < 6, dan x ∈ asli}
Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
Dalam keanggotaan himpunan, ada himpunan ynag tidak memiliki anggota, yang dinamakan dengan himpunan kosong. Dalam rangka memahami konsep himpunan kosong.
Diagram Venn
Cara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram yang disebut dengan Diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:
a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut kiri atas.
b. Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.
c. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.
d. Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggotaanggotanya tidak perlu dituliskan.
Sifat-sifat Himpunan
Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).
Himpunan Bagian
1. Himpunan A adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
A ⊂ S
2. Himpunan B adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
B ⊂ S
3. Himpunan C adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
C ⊂ S
4. Himpunan D adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
D ⊂ S
5. Himpunan E adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
E ⊂ S
6. Himpunan F adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
F ⊂ S
7. Himpunan C adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
C ⊂ A
8. Himpunan D adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
D ⊂ A
9. Himpunan E adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
E ⊂ B
10. Himpunan F adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
F ⊂ B
11. Himpunan C bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
C ⊄ B
12. Himpunan D bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
D ⊄ B
13. Himpunan E bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
E ⊄ A
14. Himpunan F bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
F ⊄ A

Himpunan Kuasa
Masalah 2.6
SMP Al Amin akan mempersiapkan dua orang siswanya, Ningsih dan Taufan
untuk mengikuti olimpiade matematika SMP tingkat provinsi. Persyaratan
untuk mengikuti olimpiade adalah sekolah boleh mengirimkan satu orang
siswa atau lebih dan boleh tidak mengirimkan wakilnya untuk mengikuti
olimpiade tersebut. Berapa banyak cara yang dilakukan SMP Al Amin untuk
mengirimkan wakilnya mengikuti olimpiade matematika tersebut?
Alternatif Pemecahan Masalah
Banyak cara yang dilakukan SMP Al amin dalam mengikuti olimpiade
matematika tersebut adalah sebagai berikut.
• Cara pertama : Tidak mengirimkan siswa mengikuti olimpiade.
• Cara kedua : Hanya mengirimkan Ningsih mengikuti olimpiade.
• Cara ketiga : Hanya mengirimkan Taufan mengikuti olimpiade.
• Cara keempat : Mengirimkan Ningsih dan Taufan secara bersamasama mengikuti olimpiade.
Maka, ada 4 cara pengiriman yang dapat dilakukan SMP Al Amin untuk
mengikuti olimpiade tingkat provinsi.
Jika A adalah himpunan siswa SMP Al Amin yang akan mengikuti olimpiade
matematika tingkat provinsi, maka A = {Ningsih, Taufan}.
Misalkan himpunan siswa yang akan dikirim mengikuti olimpiade dari
keempat cara pengiriman adalah himpunan B untuk cara I, himpunan C untuk
cara II, himpunan D untuk cara III, dan himpunan E untuk cara IV, maka
• Cara pertama : Himpunan B = { }
• Cara kedua : Himpunan C = {Ningsih}
• Cara ketiga : Himpunan D = {Taufan}
• Cara keempat : Himpunan E = {Ningsih, Taufan}
Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.
• Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan C merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan D merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan E merupakan himpunan bagian dari A.
• Berdasarkan uraian di atas, maka anggota-anggota himpunan bagian dari
A adalah {{ }, {Ningsih}, {Taufan}, {Ningsih, Taufan}}.
Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Kesamaan dua Himpunan
• Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B
dan B ⊂ A, dinotasikan dengan A = B.
• Jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.
No Himpunan A Himpunan B Sama/Tidak sama
1 {1, 2, 3} {1, 2, 3} Sama
2 {3, 2, 1} {1, 2, 3} Sama
3 {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3} Tidak sama
4 {a, b, c} {1, 2, 3} Tidak sama
5 {a, b, c, d} {d, a, b, c} Sama
6 {p, q, r, s} {p, r, s, q} Sama
7 {p, q, r} {p, r, s, p} Tidak sama
8 {a, b, c, d} {a, b, c, d, ...} Tidak sama

Operasi himpunan
1.Irisan (Intersection)
2.Gabungan (Union)
3.Komplemen (Complement)
4. Selisih (Difference)
Gabungan, Irisan, dan Selisih adalah contoh dari operasi biner, yaitu operasi
yang memerlukan dua unsur untuk dioperasikan. Selain operasi biner ada
operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur, yaitu operasi komplemen.
Berbeda dengan operasi biner yang semestanya tidak perlu ditetapkan, maka
operasi komplemen memerlukan ditetapkannya himpunan semesta. Tanpa
himpunan semesta, operasi komplemen ini tidak bisa dilakukan. Sebenarnya
operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari
adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu.

Sifat-sifat Operasi Himpunan
a. Sifat Idempoten
b. Sifat Identitas
c. Sifat Komutatif
d. Sifat Asosiatif
e. Sifat Distibutif

BAB 3
Bentuk Aljabar
Mengenal bentuk aljabar
Contoh soal
Sederhanakan bentuk aljabar 4x + 9 – 5x – 2.
Penyelesaian
Kelompokkan suku-suku sejenis
4x + 9 – 5x – 2= 4x – 5x + 9 – 2
= (4 – 5)x + 7
= –1x + 7
–1x selanjutnya boleh hanya ditulis dengan –x, demikian juga 1x boleh hanya
ditulis dengan x.
Dengan demikian, bentuk sederhana dari 4x + 9 – 5x – 2 adalah –x + 7.

Contoh soal
Sederhanakan bentuk aljabar 2x + 3y + 4x – 5y.
Penyelesaian
Kelompokkan suku-suku sejenis
2x + 3y + 4x – 5y = 2x + 4x + 3y – 5y
= (2 + 4)x + (3 – 5)y
Jumlahkan atau kurangkan koefsien suku-suku yang sejenis tersebut, menjadi:
2x + 3y + 4x – 5y = 6x – 2y

Contoh soal
Sederhanakan bentuk aljabar 9a2 + 3ab – 7b2 – 12a2 + 6ab + 2b2.
Penyelesaian
9a2 + 3ab – 7b2 – 12a2 + 6ab + 2b2 = (9 – 12)a2 + (3 + 6)ab + (–7 + 2)b2 = –3a2 + 9ab – 5b2


Memahami Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

No Bentuk Aljabar Suku-suku sejenis
1 15x + 9y + 7x + 3y • 15x dan 7x
• 9y dan 3y
2 22x + 12y - 6x - 9y • 22x dan –6x
• 12y dan –9y

Contoh soal
Tentukan penjumlahan 7a + 4b dengan 8a - 6b.
Penyelesaian
(7a + 4b) + (8a - 6b) = 7a + 4b + 8a + (–6b) jabarkan
= 7a + 8a + 4b + (–6b) kumpulkan suku sejenis
= 15a + (-2b) operasikan suku sejenis
= 15a - 2b sederhanakan
Contoh soal
Tentukan pengurangan 7a + 4b oleh 8a - 6b.
Penyelesaian
(7a + 4b) - (8a - 6b) = 7a + 4b – 8a - (-6b) jabarkan
= 7a - 8a + 4b + 6b kumpulkan suku sejenis
= -a + 10b operasikan suku sejenis
Contoh soal
Tentukan penjumlahan 16a - 12b + 4 oleh 5a - 9b + 2c.
Penyelesaian
(16a -12b + 4) + ( 5a – 9b + 2c)
= 16a - 12b + 4 + 5a + (-9b) + 2c jabarkan
= 16a + 5a - 12b - 9b + 2c + 4 kumpulkan suku sejenis
= 21a - 21b + 2c + 4 operasikan suku sejenis
Contoh soal
Kurangkan 3x + 4y dengan 5x – 6y
Penyelesaian
(3x + 4y) – (5x – 6y) = 3x + 4y – 5x + 6y jabarkan berdasarkan soal
= 3x – 5x + 4y + 6y kumpulkan suku sejenis
= –2x + 10y operasikan suku sejenis
Contoh soal
Kurangkan 2p – 5 dari 10p + 11
Penyelesaian
(10p + 11) – (2p – 5) = 10p + 11 – 2p + 5 jabarkan berdasarkan soal
= 10p – 2p + 11 + 5 kumpulkan suku sejenis
= 8p + 16 operasikan suku sejenis

Memahami perkalian bentuk aljabar
Secara umum hasil perkalian bentuk aljabar (x + a) × (x + b) mengikuti proses
berikut.

(x + a) × (x + b)

No. A B A × B Keterangan
1 5 x + 10 5x + 50 (5 × x) + (5 × 10) = 5x + 50
2 7 x – 3 7x – 21 (7 × x) + (7 × (-3) = 7x -21
3 x + 10 x + 3 x2 + 13x + 30 (x × x) + (x × 3) + (10 × x) + (10 × 3)
= x2 +3x + 10x + 30
= x2 +13x + 30
4 x - 2 x + 7 x2 + 5x - 14 (x × x) + (x × 7) + (-2) × x + (-2) × 7
= x2 +7x - 2.x - 14
= x2 + 5x - 14
Mengenal Sifat-sifat Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Operasi penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar memiliki beberapa sifat,
antara lain:
1. Sifat Komutatif
a + b = b + a
a × b = b × a
(Sudah ditunjukkan di depan)
2. Sifat Asosiatif
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c
(Silakan cek)
3. Sifat Distributif (perkalian terhadap penjumlahan)
a × (b + c) = a × b + a × c
atau a(b + c) = ab + ac

Memahami Pembagian Bentuk Aljabar
Seperti yang kita ketahui luas = panjang × lebar. Dapat kita tulis

Lebar tanah Pak Tohir dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar dari
luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang.

Pada kegiatan tersebut, kita telah menentukan hasil bagi x2 + 5x + 300 oleh x
+ 20 adalah x - 15. Bagaimana dengan bentuk yang lain.

Misal :
1. Hasil bagi 2x2 + 7x - 15 oleh x + 5
2. Hasil bagi 6x2 – 7x - 24 oleh 3x - 8
BAB 4
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Suhu udara di belahan Bumi selatan kini semakin panas menyusul terjadinya pergerakan semu matahari dari utara ke selatan. Oleh karena sebagian besar wilayah Indonesia terletak di selatan khatulistiwa, sepanjang tahun 2015, Indonesia dilanda musim kemarau yang panjang. Suhu udara bisa mencapai 36°C. Peristiwa ini berdampak pada kekeringan panjang di beberapa daerah di Indonesia terutama bagian timur dan daerah-daerah yang terletak di lintang selatan seperti Sumsel, Lampung, Jawa, Bali, NTB, NTT, Sulsel, dan Papua bagian selatan. Kita bisa mengukur suhu udara di lingkungan sekitar dengan menggunakan termometer ruang. Termometer ruang biasanya dipasang pada tembok rumah atau kantor. Termometer ruang mengukur suhu udara pada suatu saat. Skala termometer ini adalah dari -50°C sampai 50°C. Skala ini digunakan karena suhu udara di beberapa tempat bisa mencapai di bawah 0°C, misalnya wilayah Eropa. Sementara di sisi lain, suhu udara tidak pernah melebihi 50°C. Tidak jarang termometer yang kita pakai menggunakan satuan Fahrenheit. Bagaimana cara kita untuk mengkonversi suhu dari Celcius ke Fahrenheit, atau sebaliknya? Dalam mempelajari ilmu sains seperti Kimia dan Fisika, diperlukan kemampuan untuk mengkonversikan berbagai satuan yang di pakai. Karena konversi merupakan salah satu kunci untuk menyelesaikan suatu perhitungan dengan benar. Kita menggunakan konsep persamaan linear untuk mengkonversi suhu. Konsep ini akan kita pelajari dalam Bab 4 ini.

Memahami Konsep Persamaan Linear Satu Variabel
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja karena memiliki unsur yang belum diketahui nilainya.
Variabel adalah simbol/lambang yang mewakili sebarang anggota suatu
himpunan semesta. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.
1. Dua dikurang m sama dengan satu.
Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel yaitu m.
2. y adalah bilangan prima yang lebih dari empat.
      Merupakan kalimat terbuka yang memiliki variabel y.
3. x + 7 = 9.
Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel x.
4. 4 + b > 10.
Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel b.
5. 2a – 4 < 31
Merupakan kalimat terbuka karena memiliki variabel a.

Suatu kalimat terbuka yang memiliki variabel harus diganti oleh satu atau lebih anggota dari himpunan semesta yang didefnisikan, sehingga kalimat terbuka yang diberikan akan menjadi benar. Pengganti variabel tersebut dinamakan selesaian. Himpunan semua selesaian dalam kalimat terbuka disebut himpunan selesaian.
1. x + 2 = 6, pengganti x yang benar adalah 4. Jadi, selesaiannya adalah
x = 4, dan himpunan selesaiannya adalah {4}.
2. p adalah bilangan ganjil, p ∈ {1, 2, 3, ..., 10}.
Pengganti p supaya pernyataan bernilai benar adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.
Jadi, himpunan selesaiannya adalah {1, 3, 5, 7, 9}.
3. 5x + 2 = 9, dengan x ∈ himpunan bilangan asli.
Tidak ada pengganti x yang membuat pernyataan menjadi benar.
Jadi, himpunan selesaiannya adalah ∅ atau { }

Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Penjumlahan atau Pengurangan
Dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel, tujuannya adalah
menyederhanakan persamaan untuk menyisakan variabel saja di salah satu
sisi. Setiap langkah yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan
menghasilkan persamaan ekuivalen. Apakah yang dimaksud dengan
persamaan ekuivalen?
Perhatikan persamaan-persamaan berikut.
1. x + 1 = 3
2. x + 2 = 4
3. 2x - 2 = 6
Bagaimanakah himpunan selesaian dari ketiga persamaan di atas? Ketiga
persamaan tersebut memiliki himpunan selesaian yang sama. Persamaanpersamaan di atas disebut dengan persamaan yang ekuivalen atau persamaan
yang setara. Persamaan yang ekuivalen dapat dimodelkan sebagai timbangan
yang seimbang kemudian kedua lengan ditambah atau dikurangi oleh beban
yang sama, namun timbangan masih dalam keadaan seimbang.
Contoh soal
Tentukan himpunan selesaian dari 12 + x = 40
Penyelesaian
12 + x = 40
12 – 12 + x = 40 – 12
x = 28
Periksa
12 + x = 40
12 + (28) = 40
40 = 40 (benar)
Jadi, himpunan selesaiannya adalah {28}.
Contoh soal
 Andi memakan 8 kue baruasa dan Nyoman memakan 11 kue baruasa
dari kemasan yang baru dibuka. Mereka berdua menyisakan 23 kue
baruasa di dalam kemasan. Tulis persamaan dan tentukan selesaiannya
untuk mengetahui banyaknya kue baruasa dalam kemasan semula.
Penyelesaian
Kata-kata Banyak kue semula dikurangi banyak kue yang dimakan Andi
dikurangi banyak kue yang dimakan Nyoman sama dengan
banyak kue yang tersisa.
Variabel Misalkan b adalah banyak kue dalam kemasan semula
Persamaan b - 8 - 11 = 23
b – 8 – 11 = 23
b – 19 = 23
b – 19 + 19 = 23 + 19
b = 42
Jadi, banyak kue baruasa dalam kemasan semula adalah 42 kue.

Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Perkalian atau Pembagian
Pada kegiatan sebelumnya kalian telah menerapkan operasi penjumlahan dan pengurangan pada persamaan yang ekuivalen untuk menyelesaikan suatu persamaan. Pada kegiatan ini akan diperluas lagi dengan menggunakan operasi perkalian dan pembagian untuk menyelesaikan persamaan.
Tentukan himpunan selesaian dari setiap persamaan linear dua variabel berikut.
a. 3x + 1 = -7 b.

Penyelesaian
Alternatif
a. 3x + 1 = –7
3x + 1 – 1 = –7 – 1
3x = –8


Himpunan selesaian dari persamaan 3x + 1 = –7 adalah
b.



Jadi, himpunan selesaiannya adalah
Menemukan Konsep Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Dalam kasus jika himpunan selesaian dari pertidaksamaan x ≤ 3 adalah semua bilangan real, kita bisa menyatakan dengan “semua bilangan real yang kurang dari atau sama dengan 3.” Oleh karena anggota himpunan selesaiannya tak terhingga banyaknya, maka x tidak bisa kita sebutkan satu-satu. Sehingga kita bisa membuat grafk berupa garis bilangan. Notasi interval atau notasi pembentuk himpunan sebagai penyajian himpunan selesaian.

Simbol pertidaksamaan
simbol < > ≤ ≥
frase Kurang dari Lebih dari -kurang dari atau sama dengan
-tidak lebih dari
-paling banyak -lebih dari atu sama dengan
-tidak kurang dari
-paling sedikit
Contoh soal
Tulislah kalimat berikut menjadi sebuah pertidaksamaan linear satu variabel.
Suatu bilangan m ditambah 5 hasilnya lebih dari atau sama dengan -7.
Penyelesaian
Suatu bilangan m ditambah 5 hasilnya lebih dari atau sama dengan -7.
m + 5 ≥ -7
Jadi, pertidaksamaan dari kalimat tersebut adalah m + 5 ≥ -7.

Contoh Soal
Apakah -2 merupakan salah satu selesaian dari pertidaksamaan berikut?
a. y - 5 ≥ - 6 b. -5y < 14
Penyelesaian
a. y - 5 ≥ - 6 ?
( 2) 5 6 - - ≥-
- ≥ - 7 6 / (Salah)
-7 tidak lebih dari atau sama
dengan -6.
Jadi, -2 bukan salah satu selesaian
pertidaksamaan y - 5 ≥ - 6
b. -5y < 14 ?
- - < 5( 2) 14
10 < 14 (Benar)
10 kurang dari 14.
Jadi, -2 merupakan
salah satu selesaian dari
pertidaksamaan -5y < 14

Menyelesaikan Masalah
Pertidaksamaan Linear
Kegiatan4.5 Satu Variabel
Seperti halnya pada persamaan yang telah kalian pelajari di Kegiatan 4.1 - 4.3,
pertidaksamaan pun sering dijumpai dalam masalah sehari-hari. Perhatikan
masalah berikut.
Untuk menjadi pramuka, usia kalian harus kurang dari 18 tahun. Selama 4
tahun ini, kalian masih memenuhi syarat untuk menjadi Praja Muda Karana.
Masalah di atas dapat dengan mudah diubah menjadi pertidaksamaan
linear. Menurut kalian, jika x adalah usia kalian saat ini, manakah empat
pertidaksamaan berikut yang menyatakan masalah di atas?
a. x + 4 > 18 b. x + 4 ≥ 18
c. x + 4 < 18 d. x + 4 ≤ 18
Bagaimanakah menyelesaikan pertidaksamaan? Dalam menyelesaikan
pertidaksamaan, langkah-langkah yang digunakan sama dengan langkahlangkah yang kalian gunakan untuk menyelesaikan persamaan linear variabel.
Untuk memahami bagaimana bagaimana menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan pertidaksamaan, mari ikuti Kegiatan 4.5 ini dengan baik.
Ayo
Kita Amati
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan, ada kalanya kita diharuskan
menggunakan sifat-sifat ketidaksamaan. Berikut beberapa sifat ketidaksamaan.
Ketika kalian menambahkan atau mengurangi kedua sisi dari pertidaksamaan,
tanda ketidaksamaan tidak berubah.
Jika a < b maka a + c < b + c
Jika a > b maka a + c > b + c
Perhatikan contoh berikut.
-4 < 2
-4 + 3 < 2 + 3
-1 < 5
Jika a < b maka a - c < b - c
Jika a > b maka a - c > b - c
Perhatikan contoh berikut.
-1 < 2
-4 - 5 < 2 - 5
-6 < -3
Sifat ini juga berlaku untuk ≤ dan ≥.

2. Perbedaan penting antara persamaan linear satu variabel dengan
pertidaksamaan linear satu variabel ditunjukkan ketika kita mengali atau
membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan bukan nol.
a. Ketika kalian mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan
positif, maka tanda ketidaksamaan tidak berubah. Perhatikan tabel
berikut.
Jika a < b maka a × c < b × c  Jika a < b maka

Jika a > b maka a × c > b × c Jika a > b maka
Perhatikan contoh berikut. Perhatikan contoh berikut.
-4 < 2 -4 < 2
-4 × 3 < 2 × 3
-12 < 6 -


Sifat ini juga berlaku untuk ≤ dan ≥.

b. Ketika kalian mengalikan atau membagi kedua sisi dengan bilangan
negatif, maka tanda ketidaksamaan berubah. Perhatikan tabel berikut.
Jika a < b maka a × c < b × c Jika a < b maka
Jika a > b maka a × c > b × c Jika a > b maka
Perhatikan contoh berikut. Perhatikan contoh berikut.
-4 < 2 -4 > 2
-4 × (-2) > 2 × (-2)
8 > -4 -2<1
Sifat ini juga berlaku untuk ≤ dan ≥
Tentukan himpunan selesaian dari peridaksamaan linear berikut dengan x
adalah bilangan bulat.
-6(x - 3) ≥ 2 - 2 (x - 8)
Penyelesaian
Alternatif
-6(x - 3) ≥ 2 - 2 (x - 8)
-6x + 18 ≥ 2 - 2x + 16
-6x + 18 ≥ 18 - 2x
-6x + 2x + 18 ≥ 18 - 2x + 2x
-4x + 18 ≥ 18
-4x + 18 -18 ≥ 18 -18
-4x ≥ 0

x ≤ 0
Jadi, himpunan selesaian dari pertidaksamaan -6(x - 3) ≥ 2 - 2 (x - 8) adalah
{x| x ≤ 0, x ∈ B}.